(14分)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點,PA=AD=a.
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求證:平面PMC⊥平面PCD.
見解析。
【解析】
試題分析:證明:如答圖所示
⑴設(shè)PD的中點為E,連結(jié)AE、NE,
由N為PD的中點知ENDC,
又ABCD是矩形,∴DCAB,∴ENAB
又M是AB的中點,∴ENAN,
∴AMNE是平行四邊形
∴MN∥AE,而AE平面PAD,NM平面PAD
∴MN∥平面PAD
證明:⑵∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,
又MN平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD.
考點:本題主要考查四棱錐的特征、點線面關(guān)系重大平行與垂直,考查空間想象能力及邏輯推理論證能力。
點評:證明空間問題注意轉(zhuǎn)化成平面問題,充分利用平面圖形的特征,這是立體幾何中的基本問題。
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