Question

【題目】雙流中學(xué)2016年高中畢業(yè)的大一學(xué)生假期參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，為提高某套叢書的銷量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為元時(shí)，銷售量可達(dá)到萬(wàn)套，現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元）與銷售量（單位：萬(wàn)套）成反比，比例系數(shù)為10，假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書的利潤(rùn)=售價(jià)供貨價(jià)格.問(wèn)：

（1）每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商所獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（2）每套叢書售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）每套叢書定價(jià)為100元時(shí)，銷售量為萬(wàn)套，

此時(shí)每套供貨價(jià)格為元，················· 3分

∴ 書商所獲得的總利潤(rùn)為萬(wàn)元．·········· 4分

（Ⅱ）每套叢書售價(jià)定為元時(shí)，由得， ，··· 5分

依題意，單套叢書利潤(rùn)

·············· 7分

∴，

∵，∴，

由， ······· 10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)

．

答：（Ⅰ）當(dāng)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商能獲得總利潤(rùn)為340萬(wàn)元；（Ⅱ）每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套利潤(rùn)取得最大值100元．·························· 12分

（說(shuō)明：學(xué)生未求出最大值不扣分）．

【解析】解：(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，銷售量為15－0.1×100＝5(萬(wàn)套)，此時(shí)每套供貨價(jià)格為30＋＝32(元)，書商所獲得的總利潤(rùn)為5×(100－32)＝340(萬(wàn)元)．

(2)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，由

解得0<x<150.

依題意，單套叢書利潤(rùn)

P＝x－(30＋)＝x－－30，

∴P＝－[(150－x)＋]＋120.

∵0<x<150，∴150－x>0，

由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，

當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝，即x＝140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，Pmax＝－20＋120＝100.

∴當(dāng)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，書商獲得總利潤(rùn)為340萬(wàn)元，每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大，最大值為100元．