Question

函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，則函數(shù)f（x）在[-1，4]上零點的個數(shù)為（　　）

Answer 1

分析：先利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)當(dāng)x∈[0，2）時的零點的個數(shù)，再利用函數(shù)為以2為周期的周期函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），所以函數(shù)為以2為周期的周期函數(shù)
當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，f′（x）=12x²-12x=12x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數(shù)在[0，1）上單調(diào)減，在（1，2）上單調(diào)增
∵f（0）=1，f（1）=-1＜0，f（2）=32-24+1=9＞0
∴當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，函數(shù)f（x）有兩個零點
∵函數(shù)為以2為周期的周期函數(shù)
∴當(dāng)x∈[2，4）時，函數(shù)f（x）有兩個零點；x∈[-1，0）時，函數(shù)f（x）有一個零點
∴函數(shù)f（x）在[-1，4]上零點的個數(shù)為5
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的零點，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=4x³-6x²+1，函數(shù)f（x）有兩個零點．