Question

8．如圖，過點A的線段AB，AC，AD在點A處兩兩垂直，點E為直線BC外一點．
（1）若AD∥平面BCE，求證：平面BCE⊥平面ABC；
（2）若DE⊥平面BCE，平面BCE⊥平面ABC，AB=AC=AD，求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥平面ABC，平面BCE中必有一條直線l∥AD，從而直線l⊥平面ABC，由此能證明平面BCE⊥平面ABC．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BD-E的余弦值．

解答 證明：（1）∵過點A的線段AB，AC，AD在點A處兩兩垂直，
∴AD⊥平面ABC，
AD∥平面BCE，∴平面BCE中必有一條直線l∥AD，
∴直線l⊥平面ABC，
∵直線l?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABC．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，
取BC中點F，連AF、EF，設(shè)AB=AC=AD=2，
∵DE⊥平面BCE，平面BCE⊥平面ABC，
∴DE∥AF，AD∥EF，∴B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（-1，1，2），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角A-BD-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-BD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．