Question

已知函數(shù)f（x）=x²sinx，各項(xiàng)均不相等的有限項(xiàng)數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)x_i滿(mǎn)足|x_i|≤1．令F（n）=

n

i=1

x1•

n

i=1

f(xi)，n≥3且n∈N，例如：F（3）=（x₁+x₂+x₃）•（f（x₁）+f（x₂）+f（x₃））．
下列給出的結(jié)論中：
①存在數(shù)列{x_n}使得F（n）=0；
②如果數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，則F（n）＞0；
③如果數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，則F（n）＞0；
正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，f（x）=x²sinx是奇函數(shù)，只需考查0＜x≤1時(shí)的性質(zhì)，此時(shí)y=x²，y=sinx都是增函數(shù)，得f（x）=x²sinx在[0，1]上是增函數(shù)；即f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數(shù)．
x₁+x₂＜0時(shí)，得f（x₁）+f（x₂）＜0，x₁+x₂＞0時(shí)，得f（x₁）+f（x₂）＞0；即x₁+x₂≠0時(shí)，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0；
判定①是正確的，如{x_n}滿(mǎn)足x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)；
②是錯(cuò)誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)，F(xiàn)（n）=0；
③是正確的，如數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，各項(xiàng)符號(hào)一致的情況顯然符合；各項(xiàng)符號(hào)不一致時(shí)，公比q＜0，討論n是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，都有F（n）＞0．

解答： 解：由題意，得f（x）=x²sinx是奇函數(shù)，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=x²，y=sinx都是增函數(shù)，
∴f（x）=x²sinx在[0，1]上遞增，
∴f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函數(shù)；
若x₁+x₂＜0，則x₁＜-x₂，∴f（x₁）＜f（-x₂），
即f（x₁）＜-f（x₂），∴f（x₁）+f（x₂）＜0；
同理若x₁+x₂＞0，可得f（x₁）+f（x₂）＞0；
∴x₁+x₂≠0時(shí)，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0．
對(duì)于①，顯然是正確的，如{x_n}滿(mǎn)足x₁+x₂+…+x_n=0時(shí)；
對(duì)于②，顯然是錯(cuò)誤的，如x₁+x₂+…+x_n=0，F(xiàn)（n）=0時(shí)；
對(duì)于③，是正確的，當(dāng)數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，且各項(xiàng)符號(hào)一致的情況時(shí)顯然符合題意；
若各項(xiàng)符號(hào)不一致，則公比q＜0，
若n是偶數(shù)，(x2i-1+x2i)=x1q2i-2(1+q)，i=1，2，…，

n

2

符號(hào)一致，
又（x_2i-1+x_2i），[f（x_2i-1）+f（x_2i）]符號(hào)一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇數(shù)，可證明“(x2i-1+x2i)=x1q2i-2(1+q)，i=1，2，…，

n-1

2

和xn=x1qn-1符號(hào)一致”，
或者“(x2i+x2i+1)=x1q2i-1(1+q)，i=1，2，…，

n-1

2

和x₁符號(hào)一致”，
同理可證符合F（n）＞0；
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問(wèn)題，等差與等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．