Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$
（1）用定義證明該函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義法證明步驟：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論，進行證明即可；
（2）由解析式求出定義域，化簡f（-x）后由函數(shù)奇偶性的定義判斷即可．

解答 證明：（1）任取1≤x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$
=$\frac{2{x}_{2}{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{2}-2{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}}{{{（{{x}_{1}}^{2}+1）（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）+2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{（{{x}_{1}}^{2}+1）{（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，∴1-x₁x₂＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵f（x）的定義域為R，f（-x）=$\frac{2（-x）}{（-x）^{2}+1}$=$-\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性定義法證明步驟：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論，以及函數(shù)奇偶性的判斷方法：定義法，注意先求出函數(shù)的定義域，考查化簡、變形能力．