Question

設圓C與兩圓(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一個內切，另一個外切．

(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；

(2)已知點M(，)，F(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

解　(1)設圓C的圓心坐標為(x，y)，半徑為r.

圓(x＋)²＋y²＝4的圓心為F₁(－，0)，半徑為2，

圓(x－)²＋y²＝4的圓心為F(，0)，半徑為2.

由題意得

∴||CF₁|－|CF||＝4.

∵|F₁F|＝2>4，

∴圓C的圓心軌跡是以F₁(－，0)，F(，0)為焦點的雙曲線，其方程為－y²＝1.

(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴當M，P，F三點共線，且點P在MF延長線上時，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|＝＝2.

直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯立得

整理得15x²－32x＋84＝0.

∴當||MP|－|FP||取得最大值2時，點P的坐標為