Question

16．已知函數f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．（x∈R）
（1）求出函數f（x）的對稱軸方程；
（2）設x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值-2，最大值為$\sqrt{3}$，求實數a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根據正弦函數圖象及性質，可得2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）從而求得對稱軸方程．
（2）根據x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，即可得到f（x）的最小值及最大值，由題意即可求a，b．

解答 解：（1）函數f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．（x∈R）
根據正弦函數圖象及性質，可得2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
所以：函數f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，那么2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
當a＞0時，
則2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$．
   2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為a+b．
由題意：$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$=-2，a+b=$\sqrt{3}$
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$-2
故實數a，b的值分別為2，$\sqrt{3}-2$．
當a＜0時，
則2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最大值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為a+b．
由題意：$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$=$\sqrt{3}$，a+b=-2
解得：a=-2，b=0
故實數a，b的值分別為-2，0．

點評 本題考查了三角函數的圖象及性質的運用能力．屬于基礎題．