Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則下列命題是假命題的是（　�。�

• A、AB₁∥平面BDC₁
• B、A₁C⊥平面BDC₁
• C、直三棱柱的體積V=4
• D、直三棱柱的外接球的表面積為4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：簡單空間圖形的三視圖

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用面面平行的性質(zhì)判斷A是否正確；
根據(jù)線面垂直的判定定理證明A₁C⊥平面BDC₁，
利用體積公式計算棱柱的體積，可判斷C是否正確；
根據(jù)正方體的外接球半徑，求得外接球的體積，由此判斷D是否正確．

解答： 解：取A₁C₁中點(diǎn)O，連接OB₁，AO，∵D為AC的中點(diǎn)，∴四邊形DAOC₁為平行四邊形，
∴AO∥C₁D，又四邊形BDOB₁為平行四邊形，∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
∵由三視圖知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由側(cè)視圖知△ABC為等腰直角三角形，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥BD，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面BDC₁．故B正確；
由三視圖知：直三棱柱的高為2，底面是直角邊長為2的等邊三角形，∴體積V=

1

2

×2×2×2=4，∴C正確；
由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，直三棱柱為正方體的一半，∴外接球的半徑R=

3×22

2

=

3

，
∴外接球的表面積S=4π×3=12π，∴D錯誤；
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，考查了棱柱的體積計算及棱柱的外接球體積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算能力．