Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=

3

，若球O的體積為

20 5

3

π，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（　�。�

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和球的對(duì)稱性，得球心O是△ABC和△A₁B₁C₁的外心連線段的中點(diǎn)，連接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O₁A=1，由球O的體積算出OA=

5

，然后在Rt△O₁OA中，用勾股定理算出O₁O=2，得三棱柱的高O₁O₂=4，最后算出底面積S_△ABC=

3

4

，可得此直三棱柱的體積．

解答：解：設(shè)△ABC和△A₁B₁C₁的外心分別為O₁、O₂，連接O₁O₂，
可得外接球的球心O為O₁O₂的中點(diǎn)，連接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=-

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

根據(jù)正弦定理，得△ABC外接圓半徑O₁A=

BC

2sinA

=1
∵球O的體積為V=

4πR3

3

=

20 5

3

π，∴OA=R=

5

Rt△O₁OA中，O₁O=

OA2-O1A 2

=2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積S_△ABC=

1

2

AB•ACsin

2π

3

=

3

4

∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為S_△ABC×O₁O₂=

3

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出直三棱柱的底面三角形的形狀和外接球的體積，求此三棱柱的體積，著重考查了球的體積公式式、直三棱柱的性質(zhì)和球的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于中檔題．