Question

過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有（　�。�條．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（法一）先看當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)是否成立，再看直線(xiàn)斜率存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)分類(lèi)討論，再由判別式等于0時(shí)求k的值：
（法二）判斷出點(diǎn)（0，1）在拋物線(xiàn)y²=4x的外部，則過(guò)（0，1）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=4x相切的直線(xiàn)有兩條，此外還有一條與x軸平行的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)也有一個(gè)交點(diǎn)，即可得到滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的條數(shù)．

解答： 解：（法一）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為x=0，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求得x=0，y=0，
此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，
②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程y=kx+1，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
當(dāng)k=0時(shí)，y=1代入拋物線(xiàn)求得x=1，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k≠0，要使直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
綜合可知要使直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有3條，
（法二）因?yàn)辄c(diǎn)（0，1）在拋物線(xiàn)y²=4x的外部，
所以過(guò)（0，1）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=4x相切的直線(xiàn)有兩條，
此外還有一條與x軸平行的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)也有一個(gè)交點(diǎn)，
所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的條數(shù)是3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)和與拋物線(xiàn)相切的條件，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，一定要考慮斜率不存在的情況．