在直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ）．
（1）若θ銳角，且sinθ=
3
5
，求
CA
•
CB
；（2）若
CA
⊥
CB
，求sin2θ．
分析：（1）由θ為銳角及sinθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的值，確定出C的坐標(biāo)，再由A和B的坐標(biāo)表示出向量
CA
和
CB
，利用平面向量的數(shù)量積運算法則即可求出
CA
•
CB
的值；
（2）由A，B及C的坐標(biāo)分別表示出
CA
和
CB
，由
CA
⊥
CB
，得到兩向量的數(shù)量積為0，故利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出
CA
•
CB
，讓其值等于0，整理后兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出sin2θ的值．
解答：解：（1）∵θ銳角，且sinθ=
3
5
，
∴cosθ=
1-sin2θ
=
4
5
，…（1分），
∴C（
4
5
，
3
5
），又A（3，0），B（0，3），
∴
CA
=（
11
5
，-
3
5
），
CB
=（-
4
5
，
12
5
），…（3分）
則
CA
•
CB
=
11
5
×（-
4
5
）+（-
3
5
）×
12
5
=-
16
5
；…（6分）
（2）∵A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴
CA
=（3-cosθ，-sinθ），
CB
=（-cosθ，3-sinθ），…（7分）
由
CA
⊥
CB
，得
CA
•
CB
=（3-cosθ）×（-cosθ）+（-sinθ）×（3-sinθ）=0，…（8分）
即3sinθ+3cosθ-1=0，整理得：sinθ+cosθ=
1
3
，…（9分）
兩邊平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=
1
9
，…（10分）
即1+sin2θ=
1
9
，
則sin2θ=-
8
9
．…（12分）
點評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)，求：
（1）直線AB的一般式方程；
（2）AC邊上的高所在直線的斜截式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：x+
3
y=0（x≥0），過點P（1，0）作直線分別交射線OA，OB于A，B點．
（1）當(dāng)AB中點為P時，求直線AB的方程；
（2）在（1）的條件下，若A、B兩點到直線l：y=mx+2的距離相等，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O為坐標(biāo)原點，
OA
+
OB
=
OC
，f（x）=|
OC
|2．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心的坐標(biāo)及其在區(qū)間[-π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x0）=3+
2
，x0∈[
π
2
，
3π
4
]，求tanx0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•普陀區(qū)一模）在直角坐標(biāo)系中，已知點列P1（1，-
1
2
），P2（2，
1
22
），P3（3，-
1
23
），…，Pn（n，(-
1
2
)n），…，其中n是正整數(shù)．連接P1 P2的直線與x軸交于點X1（x1，0），連接P2 P3的直線與x軸交于點X2（x2，0），…，連接Pn Pn+1的直線與x軸交于點Xn（xn，0），…．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）依次記△X1P2X2的面積為S1，△X2P3X3的面積為S3，…，△XnPn+1Xn的面積為Sn，…試求無窮數(shù)列{Sn}的各項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），過點P（a，0）（a＞0）作直線l分別交射線OA，OB于A，B兩點，且
AP
=2
PB
，則直線l的斜率為
 
．

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