Question

6．已知全集U=R，A={x∈R|x²-3x+b=0}，B={x∈R|（x-2）（x²+3x-4=0）}．
（1）若b=4時，存在集合M使得A是M的真子集，M是B的真子集，求出所有這樣的集合M；
（2）集合A，B是否能滿足（∁_UB）∩A=∅？若能，求實數(shù)b的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件易知M應該是Q的一個非空子集，用列舉法可得這樣的M個數(shù)．
（2）由（C_UQ）∩P=∅可得P⊆Q，當P=∅時求出b的范圍．當P≠∅時，由Q={-4，1，2}，分-4∈P、1∈P、2∈P，分別求出b的范圍，再把b的范圍取并集，即得所求．

解答 解：（1）由條件易知b=4時，P=∅，且Q={-4，1，2}，由已知P?M⊆Q可得，M應該是一個非空集合，
且是Q的一個子集，用列舉法可得這樣的M共有如下7個：
{-4}、{1}、{2}、{-4，1}、{-4，2}、{1，2}、{-4，1，2}．
（2）由（C_UQ）∩P=∅可得P⊆Q，
當P=∅時，P是Q的一個子集，此時△=9-4b＜0，∴b＞$\frac{9}{4}$．
當P≠∅時，∵Q={-4，1，2}，若-4∈P，解得b=-28，此時，P={-4，7}，不滿足P⊆Q．
若1∈P，解得b=2，此時，P={1，2}，滿足P⊆Q．
若2∈P，解得b=2，此時，P={1，2}，滿足P⊆Q．
綜上可得，當P=∅或P={1，2}時，滿足P⊆Q，（C_UQ）∩P=∅．
故實數(shù)b的取值范圍為{b|b＞$\frac{9}{4}$，或b=2 }．

點評 本題主要考查集合的表示方法、集合的補集，兩個集合的交集、并集的定義和求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．