(本小題滿分14分)

設(shè)橢圓的離心率為,其左焦點與拋物線的焦點相同.

(1)求此橢圓的方程;

(2)若過此橢圓的右焦點的直線與曲線只有一個交點,則

①求直線的方程;

②橢圓上是否存在點,使得,若存在,請說明一共有幾個點;若不存在,請說明理由.

(1)

(2)①.

②12個

【解析】

試題分析:對于第一問中的橢圓方程,根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)求出的值,根據(jù)離心率的值,得出的值,從而得出的值,得到相應(yīng)的橢圓方程,對于第二問,根據(jù)題的條件,設(shè)出直線的方程,當(dāng)直線和拋物線相切時,一種情況,聯(lián)立式子,對應(yīng)的二次方程有兩個相等實根,判別式等于0,一種是直線和拋物線的對稱軸平行即可得結(jié)果;根據(jù)所求的直線方程,可以得出對應(yīng)的交點P的坐標(biāo),因為F點是已知的,所以三角形的底邊FP的長度已經(jīng)確定,要想面積是所給的值,可以得出點M到此直線的距離,建立相應(yīng)的等量關(guān)系,從而得出點的個數(shù).

試題解析:

【解析】
(1)拋物線的焦點為,

所以. (1分)

,得, (2分)

所以 (3分)

因此,所求橢圓的方程為(*)(4分)

(2)①橢圓的右焦點為,過點軸平行的直線顯然與曲線沒有交點.設(shè)直線的斜率為. (5分)

當(dāng)時,則直線過點且與曲線只有一個交點,此時直線的方程為; (6分)

當(dāng)時,因直線過點,故可設(shè)其方程為,將其代入消去,得.

因為直線與曲線只有一個交點,所以判別式,于是,即直線的方程為. (7分)

因此,所求的直線的方程為. (8分)

②由①可求出點的坐標(biāo)是.

當(dāng)點的坐標(biāo)為時,則.于是=,從而,代入(*)式聯(lián)立:,求得,此時滿足條件的點有4個:

. (10分)

當(dāng)點的坐標(biāo)為,則,點到直線的距離是,于是有

從而,與(*)式聯(lián)立:解之,可求出滿足條件的點有4個:

,,. (12分)

當(dāng)點的坐標(biāo)為,則,點到直線:的距離是,于是有

從而,與(*)式聯(lián)立:,

解之,可求出滿足條件的點有4個:

,,,. (14分)

綜合①②③,以上12個點各不相同且均在該橢圓上,因此,滿足條件的點共有12個.圖上橢圓上的12個點即為所求.

考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和橢圓的位置關(guān)系,兩點間的距離,點到直線的距離.

練習(xí)冊系列答案
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A.0 B.1 C. D.5

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若函數(shù),分別是R上的奇函數(shù),偶函數(shù),且滿足,則有

A. B.

C. D.

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A. B. C. D.3

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(本小題滿分12分)

在平面直角坐標(biāo)系中,有三個點的坐標(biāo)分別是.

(1)證明:A,B,C三點不共線;

(2)求過A,B的中點且與直線平行的直線方程;

(3)設(shè)過C且與AB所在的直線垂直的直線為,求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

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已知,橢圓的方程為,雙曲線的方程為,的離心率之積為,則的漸近線方程為

A. B. C. D.

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對于函數(shù),若存在實數(shù)對(),使得等式對定義域中的每一個都成立,則稱函數(shù)是“()型函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為 “()型函數(shù)”,并說明理由;

(2)若函數(shù)是“()型函數(shù)”,求出滿足條件的一組實數(shù)對;

(3)已知函數(shù)是“()型函數(shù)”,對應(yīng)的實數(shù)對為(1,4).當(dāng) 時,,若當(dāng)時,都有,試求的取值范圍.

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