Question

已知B、C是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩點，O為坐標原點，若|OB|=|OC|，且△BOC的垂心為拋物線的焦點．
（1）求直線BC的方程；
（2）設直線BC與Y軸相交于A點，Q為拋物線上的動點，eQ以Q為圓心且過點A，問是否存在定直線平行于x軸，且被eQ截得的弦長為定值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由|OB|=|OC|得知，B、C關于y軸對稱，再由△BOC的垂心為拋物線的焦點．得OC⊥BF，從而由此求得BC的方程；
（2）由（1）知A點坐標，由線y=b和圓Q截得弦長為定值得到幾何關系，由此求出交點弦長，及求出定直線方程．
解答：解：（1）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由|OB|=|OC|得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
又x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，代入上式化簡得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2p）=0，
而y₁，y₂≥0，∴y₁=y₂．即B、C關于y軸對稱．∴點C的坐標為（-x₁，y₁）
又OC⊥BF，∴化簡得，
所以BC的方程為y=．
（2）由（1）得A，設Q（x，y），假設存在直線y=b和圓Q截得弦長為定值，設兩交點為M、N，
則由勾股定理得

=      
又∵，x²=2py∴MN=4P，即直線y=．
因此，存在這樣的定直線平行于x軸，且被eQ截得的弦長為定值．
點評：此題考拋物線的幾何性質，及直線與圓的位置關系的應用，