正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D為A1C1的中點，線段B1C上的點M滿足向量
B1M
=λ
B1C
，若
AD
與
BM
的夾角小于45°，求實數(shù)λ的值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：如圖所示，建立空間直角坐標系．A（0，-1，1），D(
3
2
，-
1
2
，0)，B（0，1，1），B1（0，1，0），C(
3
，0，1)．利用向量的坐標運算可得點M的坐標，再利用向量的夾角公式即可得出．
解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
A（0，-1，1），D(
3
2
，-
1
2
，0)，B（0，1，1），B1（0，1，0），C(
3
，0，1)．
∵
B1M
=λ
B1C
，（λ∈[0，1]）．
∴
OM
=
OB1
+λ(
OC
-
OB1
)=(1-λ)
OB1
+λ
OC
=（1-λ）（0，1，0）+λ(
3
，0，1)=(
3
λ，1-λ，λ)．
AD
=(
3
2
，
1
2
，-1)，
BM
=(
3
λ，-λ，λ-1)．
∴
AD
•
BM
=
3
2
λ-
1
2
λ+1-λ=1，|
AD
|=
2
，|
BM
|=
5λ2-2λ+1

∵
AD
與
BM
的夾角小于45°，
∴
AD
•
BM
|
AD
| |
BM|
≥cos45°，
∴
1
2
•
5λ2-2λ+1
≥
2
2
，
化為5λ2-2λ≤0，解得0≤λ≤
2
5
．
∴λ的取值范圍是[0，
2
5
]．
點評：本題考查了向量的坐標運算、向量的夾角公式、余弦函數(shù)的單調性，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

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已知函數(shù)f（x），當自變量x由x0增加到x0+△x時，函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值為（　　）
A、函數(shù)在x0處的變化率
B、函數(shù)在區(qū)間[x0，x0+△x]上的平均變化率
C、函數(shù)在x0+△x處的變化率
D、函數(shù)在x0處的導數(shù)

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平行于同一條直線的兩條直線間的位置關系是（　　）
A、異面B、平行
C、相交D、以上都有可能

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正方形ABCD的邊長為1，選各邊的中點按如圖連成正方形，再選各邊中點連成正方形，依次無限做下去，則所有正方形的邊長之和為（　�。�
A、5
B、6
C、2+
2
D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a＞0，b＞0且4a2+b2=4，則a
1+b2
的最大值是（　�。�
A、
3
2
B、
6
2
C、
5
4
D、
25
8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科）設函數(shù)f（x）=x2-2ax-8a2（a＞0），記不等式f（x）≤0的解集為A．
（1）當a=1時，求集合A；
（2）若（-1，1）⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）若0＜α＜
π
2
，試比較α，sinα，tanα的大��；
（2）若0＜α＜β＜
π
2
，試比較β-sinβ與α-sinα的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AB=1，AD=3，CD=
2
，∠CDA=45°，若四棱錐P-ABCD的體積為
5
2
時，求直線PD與底面ABCD所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2+x-a（a∈R）在區(qū)間[
2
，2]的最大值記為g（a），求g（a）的表達式．

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