(2007
江西,21)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為和,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得.(1)
證明:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線,并求出C的方程;(2)
過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).
解析:解法一: (1)在△PAB中,|AB|=2,則, ,即(常數(shù)),點(diǎn) P的軌跡C是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線,方程為.(2) 設(shè),.①當(dāng) MN垂直于x軸時(shí),MN的方程為x=1,M(1,1),N(1,-1)在雙曲線上,即,因?yàn)?/FONT>0<λ<1,所以. ②當(dāng) MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)MN的方程為y=k(x-1).由得:,由題意知: ,所以 ,,于是: ,因?yàn)?/FONT>,且M,N在雙曲線右支上, 所以 .由①②知, .解法二: (1)同解法一(2) 設(shè),,MN的中點(diǎn)為.①當(dāng) 時(shí),,因?yàn)?/FONT>0<λ<1,所以; ②當(dāng) 時(shí),.又 .所以;由 得,由第二定義得 所以.于是由 得.因?yàn)?/FONT>,所以, 又 0<λ<1,解得.由①②知 . |
剖析:本題考查雙曲線的性質(zhì)以及參數(shù)方程的解法. |
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