(2007江西,21)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(10)B(1,0)的距離分別為,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得

(1)證明:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線,并求出C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

答案:略
解析:

解析:解法一:(1)在△PAB中,|AB|=2,則

,即(常數(shù))

點(diǎn)P的軌跡C是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線,方程為

(2)設(shè)

①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí),MN的方程為x=1,M(11),N(1,-1)在雙曲線上,即

因?yàn)?/FONT>0<λ<1,所以

②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)MN的方程為y=k(x1).由得:,

由題意知:,

所以,

于是:,

因?yàn)?/FONT>,且M,N在雙曲線右支上,

所以

由①②知,

解法二:(1)同解法一

(2)設(shè),,MN的中點(diǎn)為

①當(dāng)時(shí),

因?yàn)?/FONT>0<λ<1,所以;

②當(dāng)時(shí),

.所以;

,由第二定義得

所以

于是由

因?yàn)?/FONT>,所以,

0<λ<1,解得

由①②知


提示:

剖析:本題考查雙曲線的性質(zhì)以及參數(shù)方程的解法.


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