Question

（2013•上海）對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域為[0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f^-1（x），且f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x₀，則x₀=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)定義域、值域互換可判斷：當(dāng)x∈[0，1）時，x∈[1，2）時f（x）的值域，進而可判斷此時f（x）=x無解；由f（x）在定義域[0，3]上存在反函數(shù)可知：x∈[2，3]時，f（x）的取值集合，再根據(jù)方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答：解：因為g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以對于函數(shù)f（x），
當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
所以當(dāng)x∈[0，2）時方程f（x）-x=0即f（x）=x無解，
又因為方程f（x）-x=0有解x₀，且定義域為[0，3]，
故當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故答案為：2．

點評：本題考查函數(shù)的零點及反函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．