Question

如圖，平面四邊形的4個頂點都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點，且平面         ，，點為的中點.

(1) 證明：平面平面；

(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：本小題通過立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等有關(guān)知識，考查考生的空間想象能力、推理論證能力，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的考查也有涉及，本題是一道立體幾何部分的綜合題，屬于中檔難度試題. （1）借助幾何體的性質(zhì)，得到，借助線面平行的判定定理得到線面平行，進而利用面面平行的判定定理證明平面平面；（2）利用空間向量的思路，建立坐標(biāo)系，明確各點坐標(biāo)，求解兩個半平面的法向量，進而利用向量的夾角公式求解二面角的平面角.

試題解析：(1) 證明：且，

則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.

                                 (6分)

(2) 以為原點，方向為軸，以平面內(nèi)過點且垂直于方向為軸    以方向為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.

        

則，，，

，，

由，，

可知

由，，

可知

則，

因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為.                                           (12分)

考點：(1)直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷;(2)二面角的求法.