Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³lnx+m有2個零點，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{{e}^{3}}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{3}}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{3e}$）
• D． （$\frac{1}{3e}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可．

解答 解：由f（x）=x³lnx+m=0得x³lnx=-m，
設(shè)g（x）=x³lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
則g′（x）=x²（3lnx+1），
由g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{{e}^{3}}$，
由g′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{{e}^{3}}$，
即當(dāng)x=$\frac{1}{{e}^{3}}$時，函數(shù)g（x）取得極小值同時也是最小值g（$\frac{1}{{e}^{3}}$）=-$\frac{1}{3e}$，
要使函數(shù)f（x）=x³lnx+m有2個零點，等價為方程x³lnx=-m有兩個根，
則-m＞-$\frac{1}{3e}$，即m＜$\frac{1}{3e}$，
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3e}$），
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵．