Question

已知點E（-2，0），F（2，0），曲線C上的動點M滿足

ME

•

MF

=-3，定點A（2，1），由曲線C外一點P（a，b）向曲線C引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求線段PA的最小值；
（Ⅱ）若以P為圓心所作的⊙P與曲線C有公共點，試求半徑取最小值時⊙P的標準方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出M的坐標，利用向量的數量積公式化簡，可得曲線C的方程；求出P的坐標之間的關系，表示出線段PQ長，利用配方法可求PQ的最小值；
（Ⅱ）根據P為圓心所作的圓P與曲線C有公共點，確定半徑的范圍，利用配方法，即可求半徑取最小值時圓P的標準方程．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則

EM

=（x+2，y），

FM

=（x-2，y），
∴

EM

•

FM

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即M點軌跡（曲線C）方程為 x²+y²=1，
即曲線C是以原點為圓心的單位圓．
連OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有：PQ²=OP²-OQ²．
又由已知PQ=PA，
故PQ²=PA²．
即：a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，
化簡得實數a、b間滿足的等量關系為：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當a=

6

5

時，PQ取得最小值為

2 5

5

 即線段PQ長的最小值為

2 5

5

．
（Ⅱ）設圓P的半徑為R，則
∵圓P與圓O有公共點，圓O的半徑為1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，
即R≥|OP|-1且R≤|OP|+1．
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當a=

6

5

時，|OP|_min=

3 5

5

．
此時b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1．
∴半徑取最小值時圓P的標準方程為(x-

6

5

 )2+(y-

3

5

 )2=(

3 5

5

 -1)2．

點評：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查圓與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．