Question

已知x、y為非零的實(shí)數(shù)，求

x2+4xy

x2+2y2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)

x2+4xy

x2+2y2

≤a，構(gòu)造x²+4xy≤ax²+2ay²恒成立的問題，巧用換元法，轉(zhuǎn)化為2at²-4t+a-1≤0恒成立，進(jìn)行分類討論，求出a的取值范圍，問題得以解決

解答： 解：設(shè)

x2+4xy

x2+2y2

≤a，
∴x²+4xy≤ax²+2ay²恒成立
即2ay²-4xy+（a-1）x²≥0，
∵x、y為非零的實(shí)數(shù)，兩邊同除以x²得，
∴2a(

y

x

)2-4•(

y

x

)+（a-1）≥0恒成立，
設(shè)t=

y

x

，t≠0，
∴原不等式即2at²-4t+a-1≥0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，即-4t-1≤0不能恒成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，
設(shè)f（t）=2at²-4t+a-1為開口朝上的拋物線，
∴f（t）≤0不可能恒成立
當(dāng)a＜0時(shí)，f（t）=2at²-4t+a-1為開口朝下的拋物線，
若f（t）≤0恒成立需△=16-8a（a-1）≤0
即a²-a-2≥0
解得a≥2或a≤-1，
∵a＜0，
∴a≤-1
綜上，實(shí)數(shù)a的最大值為-1，
故

x2+4xy

x2+2y2

的最大值為-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最值問題，以及函數(shù)恒成立的問題培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，知識(shí)的運(yùn)用能力，分類討論的能力，屬于難題