已知|
a
|=2|
b
|≠0，若關于x的函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
|
a
|x2+
a
•
b
x在R上是單調函數(shù)，則向量
a
與
b
的夾角范圍為
[0，
π
3
]
[0，
π
3
]
．
分析：由題意開始：函數(shù)f′（x）=x2+|
a
|x+
a
•
b
的圖象與x軸沒有交點或者只有一個交點，可得△=
a
2-4
a
•
b
≤0，即
a
•
b
≥
1
4
•
a
2，再結合cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b|
與已知條件得cos＜
a
，
b
＞≥
1
2
，再結合余弦函數(shù)的性質得到答案．
解答：解：因為關于x的函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
|
a
|x2+
a
•
b
x在R上是單調函數(shù)，
所以函數(shù)f′（x）=x2+|
a
|x+
a
•
b
與x軸沒有交點或者只有一個交點，
所以△=
a
2-4
a
•
b
≤0，即
a
•
b
≥
1
4
•
a
2，
因為cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b|
，并且|
a
|=2|
b
|≠0
所以cos＜
a
，
b
＞≥
1
2
，
所以θ∈[0，
π
3
]．
故答案為：[0，
π
3
]．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的單調性與函數(shù)導數(shù)之間的關系，以及向量的數(shù)量積運算與余弦函數(shù)的有關性質，此題綜合性較強屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2|
b
|≠0，且關于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0有實根，則
a
與
b
的夾角的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2|
b
|，命題p：關于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0沒有實數(shù)根，命題q：＜
a
，
b
＞∈[0，
π
4
]，則命題p是命題q的
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2 |
b
|=3，
a
與
b
的夾角為60°，
c
=5
a
+3
b
，
d
=3
a
+k
b
，當實數(shù)k為何值時，
（1）
c
∥
d
   
（2）
c
⊥
d
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2|
b
|≠0，且關于x的方程x2-|
a
|x+
a
•
b
=0有兩個不同的正實數(shù)根，則
a
與
b
的夾角范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2|
b
|，命題p：關于x的方程x2+|
a
|x+
a
•
b
=0沒有實數(shù)根，命題q：＜
a
，
b
＞∈[0，
π
4
]，則命題p是命題q的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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