Question

（本小題滿分14分）

在數(shù)列中，，且前項的算術(shù)平均數(shù)等于第項的倍（）． (即

（1）寫出此數(shù)列的前5項；

（2）歸納猜想的通項公式，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

（1），；

（2），證明見解析

【解析】(1)此條件的本質(zhì)是，然后令n=1,2,3,4,5，求出前5項即可。

（2）根據(jù)求得的前5項可以歸納出,由于要證明的結(jié)論與n有關(guān)，可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進行證明：證明要分兩個步驟進行：（i）說明n=1時命題成立。（2）先假設(shè)n=k時，命題成立；再證明n=k+1時，命題也成立，在證明時要用上n=k時的歸納假設(shè)。

解：（1）由已知，，分別取，

得，，，

，所以數(shù)列的前5項是：，

．＿＿4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．＿＿＿＿＿＿6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，公式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)時成立，即，那么由已知，

得，

即，所以，

即，又由歸納假設(shè)，得，

所以，即當(dāng)時，公式也成立．

由①和②知，對一切，都有成立． ----------14分