Question

已知點(diǎn)A（0，2）和B（0，-2），過點(diǎn)A的直線與過點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)P，若直線PA、PB的斜率之積為1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）設(shè)點(diǎn)D為點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線l交曲線C于x軸下方兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，設(shè)過定點(diǎn)B與EF的中點(diǎn)M的直線交x軸于點(diǎn)Q（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），得k_PA•k_PB=

y-2

x

•

y+2

x

=1，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，由此能求出x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
∵點(diǎn)A（0，2）和B（0，-2），
∴k_PA•k_PB=

y-2

x

•

y+2

x

=1，x≠0，
∴y²-x²=4，x≠0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C：y²-x²=4，x≠0．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，
代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，
依題意，得：1-m²≠0，△=16m²+32（1-m²）＞0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
y1+y2=

4m

1-m2

＜0，y1y2=

-8

1-m2

＞0，
解得1＜m＜

2

，
點(diǎn)M的坐標(biāo)（x_M，y_M），yM=

y1+y2

2

=

2m

1-m2

，xM=m•

2m

1-m2

+2=

2

1-m2

，
直線BM的方程為：y+2=（-m²+m+1）x，
令y=0，∵m∈（1，

2

），
∴x0=

2

-m2+m+1

=

2

-(m- 1 2 )2+ 5 4

∈（2，2+2

2

）．

點(diǎn)評：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法，考查點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．