已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[-
3
2
,
3
2
]
上的偶函數(shù),且x∈[0.
3
2
]
時(shí),f(x)=-x2-x+5
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)g(x)=-x2-x+5,x∈[0.
3
2
]
的圖象按向量a=(1,b)(b∈R)平移得到函數(shù)h(x)的圖象,求函數(shù)h(x)的解析式并解不等式h(x)<0.
分析:(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義可知先求出函數(shù)在區(qū)間[-
3
2
,0]
上的函數(shù)解析式,從而求出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-
3
2
3
2
]
上的解析式;
(2)先根據(jù)向量平移求出函數(shù)h(x)的解析式,然后討論b的范圍,分別求出不等式h(x)<0的解集.
解答:解(1)當(dāng)x∈[-
3
2
,0]
時(shí),-x∈[0,
3
2
]
∴f(-x)=-(-x2)-(-x)+5=-x2+x+5
∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=f(x)∴f(x)=-x2+x+5,x∈[-
3
2
,0]

∴f(x)=
-x2+x+5     x∈[-
3
2
,0]
-x2-x+5      x∈(0
3
2
]

(2)依題意 y=-x2-x+5,x∈[0,
3
2
]

將y′=y+b,x′=x+1代入①得 y-b=-(x'-1)2-(x'-1)+52  且x-1∈[0,
3
2
]

∴h(x)=-x2+x+5+b且x∈[1,
5
2
]

由h(x)<0    1≤x≤
5
2
  b<x2-x-5
設(shè)y1=by2=x2-x-5    x∈[1,
5
2
]

易知y2[1,
5
2
]
↑,(y2)min=-5,(y2)max=-
5
4

則當(dāng)b<-5時(shí),解集為{x|1≤x≤
5
2
}
,當(dāng)b=-5時(shí),解集{x|1<x≤
5
2
}

當(dāng)b≥-
5
4
時(shí),解集為φ;
當(dāng)-5<b<-
5
4
時(shí),由x2-x-5-b=0解的x1=
1-
21+4b
2
(舍)x2=
1+
21+4b
2

解集為{x|
1+
21+4b
2
x≤
5
2
}
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了函數(shù)的基本性質(zhì),已知奇偶性求函數(shù)解析式的問(wèn)題,以及圖象的平移和解不等式,屬于中檔題.
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-x(1+x)
-x(1+x)

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[-3,3]
[-3,3]

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已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則滿足f(log2(x-1))•f(2-x2-1)≥0的x的取值范圍為
(1,3]
(1,3]

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