Question

17．若函數(shù)f（x）=log_a（8-ax）滿足：對任意x₁，x₂∈（0，2]（x₁≠x₂），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，4）
• C． （1，4]
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可知先將函數(shù)f（x）在（0，2]單調(diào)遞減，f（x）=log_a（8-ax）轉(zhuǎn)化為y=log_at，t=8-ax，兩個基本函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即（x₁-x₂）和[f（x₁）-f（x₂）]異號，則$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函數(shù)f′（x）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則f（x）在（0，2]單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜a＜1時，則函y=log_at，在（0，2]是減函數(shù)，
由題設(shè)知t=8-ax為增函數(shù)，則需a＜0，故此時無解；
若a＞1，則y=log_at，在（0，2]是增函數(shù)，則t為減函數(shù)，
則需a＞0且8-a×2＞0，解得1＜a＜4，
綜上可得實數(shù)a 的取值范圍是（1，4）．
故實數(shù)a的取值范圍（1，4）．
故選：B．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是分解為兩個基本函數(shù)，利用同增異減的結(jié)論研究其單調(diào)性，再求參數(shù)的范圍，考查計算能力，屬于中檔題．