已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).
(1)若函數(shù)的值域?yàn)閇0,+∞),求a的值;
(2)若函數(shù)值為非負(fù)數(shù),求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.
分析:(1)二次函數(shù)的值域,可以結(jié)合二次函數(shù)的圖象去解答,這里二次函數(shù)圖象開口向上,△=0時(shí),值域?yàn)閇0,+∞)
(2)在(1)的結(jié)論下,化簡(jiǎn)函數(shù)f(a),轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.
解答:解:(1)∵函數(shù)的值域?yàn)閇0,+∞),即二次函數(shù)f(x)=x
2-4ax+2a+6圖象不在x軸下方,
∴△=0,即16a
2-4(2a+6)=0,∴2a
2-a-3=0,
解得:a=-1或a=
.
(2)由(1)知,對(duì)一切x∈R函數(shù)值均為非負(fù)數(shù),
有△≤0,即-1≤a≤
;∴a+3>0,
∵f(a)=2-a|a+3|=-a
2-3a+2=-
(a+)2+
,其中
(a∈[-1,]);
∴二次函數(shù)f(a)在
[-1,]上單調(diào)遞減.
∴f
()≤f(a)≤f(-1),即-
≤f(a)≤4,
∴f(a)的值域?yàn)?span id="xjtdfn9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-
,4].
點(diǎn)評(píng):本題屬于二次函數(shù)的值域問題,通常結(jié)合二次函數(shù)的圖象,容易解得問題.