Question

（2013•和平區(qū)一模）如圖，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E為PB的中點，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求證：DE∥平面ABC：
（II）求證：PD⊥平面BCD；
（III）設(shè)Q為PB上一點，

PQ

=λ

PB

，試確定λ的值使得二面角Q-CD-B為45°．

Answer 1

分析：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知

PC

=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，利用

DE

•

PC

=0?

DE

⊥

PC

，DE?平面ABC，?DE∥平面ABC即可證明．
（II）利用

PD

•

BC

=0?PD⊥BC，

PD

•

CD

=0?PD⊥CD．及BC∩DC=C，即可證明PD⊥平面BCD．
（III）由（II）可知：

PD

=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，由

PB

=(0，1，-2)，

PQ

=λ

PB

=(0，λ，-2λ)，λ∈（0，1），可得Q（0，λ，-2λ+2）．再求出平面QCD的一個法向量，利用兩個法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（I）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E(0，

1

2

，1)，

DE

=(-1，

1

2

，0)．
可知

PC

=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，
∵

DE

•

PC

=0，∴

DE

⊥

PC

．
∵DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）證明：∵

PD

=(1，0，-1)，

BC

=（0，1，0），

CD

=（1，0，1）．
∴

PD

•

BC

=0，

PD

•

CD

=0．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）解：由（II）可知：

PD

=（1，0，-1）為平面BCD的法向量，
∵

PB

=(0，1，-2)，

PQ

=λ

PB

=(0，λ，-2λ)，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
設(shè)平面QCD的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n • CD =0 n • CQ =0

，得

x+z=0 λy+(-2λ+2)z=0

，
令z=1，則x=-1，y=

2

λ

-2，∴

n

=(-1，

2

λ

-2，1)，λ∈（0，1）．
∴cos45°=

| n • PD |

| n | | PD |

=

2

2 × 2+( 2 λ -2)2

=

2

2

，
解得λ=2-

2

．

點評：本題綜合考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量證明線面平行與垂直、利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．