Question

已知△OPQ的面積為S，且·=1，=m，S=m，以O(shè)為中心，P為焦點的橢圓經(jīng)過點Q.

(1)當m∈(1，2)時，求||的最大值，并求出此時的橢圓C方程；

(2)在(1)的條件下，過點P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點，與橢圓C對應(yīng)于焦點P的準線相交于D點，且=λ₁，=λ₂請找出λ₁、λ₂之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

分析：(1)先建立適當?shù)淖鴺讼�，建立||關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再求||最大值m的值，從而求橢圓方程.

(2)可先由特殊情況(如k=0)時尋找λ₁、λ₂的關(guān)系，再證過點p的直線斜率為k時，都有λ₁、λ₂滿足k=0時λ₁、λ₂的關(guān)系式.

解：(1)以O(shè)為原點，OP所在直線為x軸建立直角坐標系，則p(m，0)，設(shè)Q(x₀、y₀)，則=(x₀-m，y₀).

∵·=1，S=m，∴mx₀-m²=1，∴x_O=m+.

    又m·|y₀|=m，∴|y₀|=，∴=.

    設(shè)t=m²+,m∈(1，2)，∵t′=2m-＞0，∴t在(1，2)上為增函數(shù)，∴當m=2時t最大，即||最大.

    此時P(2，0)，另一焦點P′(-2，0)，∴橢圓方程為=1.

    當k=0時，M(a，0)，N(-a，0),∴λ₁=,λ₂=-.∴λ₁+λ₂=0.

(2)法一：當k≠0時設(shè)直線l：y=k(x-2)，

    由消去y得=1，

    即(3+5k²)x²-20k²x+20k²-30=0.

    設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁+x₂=，x₁·x₂=.

∵=λ₁,∴2-x₁=λ₁(x₂-2).=λ₂，∴-5-x₁=λ₂(x₂+5).∵k≠0，∴x₂≠2，x₂≠-5.∴λ₁=，λ₂=.

∴λ₁+λ₂=

=+20=0.

法二：P為橢圓的右焦點，m為右準線，如圖.

    則MP=ｅMM′，NP=ｅNN′，

∵=λ₁，

∴λ₁=.

=λ₂，

λ₂=-=-，

∴λ₁+λ₂=0.

評述：①由a=λb得|λ|=，λ的符號取決于a與b的方向.②對于過焦點的直線與圓錐曲線相交時.若涉及求焦點到曲線上的點的距離問題時，用第二定義比較簡單.