Question

如圖(6)，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，

過(guò)A作AE垂直SB交SB于E點(diǎn)，作AH垂直SD交SD于H點(diǎn)，平面

AEH交SC于K點(diǎn)，且AB=1，SA=2．

（1）設(shè)點(diǎn)P是SA上任一點(diǎn)，試求的最小值；

（2）求證：E、H在以AK為直徑的圓上；

（3）求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi)，如右圖示，

則當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，這時(shí)，的

最小值即線段BH的長(zhǎng)，設(shè),則，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK為直徑的圓上

（3）方法一：如圖，以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如右圖示，

則S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

為平面AEKH的一個(gè)法向量，

為平面ABCDF的一個(gè)法向量，

設(shè)平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為，

則

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值---14分

【方法二：  由可知,故,

又∵面AEKH，

面AEKH,  ∴面AEKH.  

設(shè)平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，

∴-

∵BD⊥AC，∴⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴⊥AK，

∴為平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的一個(gè)平面角

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為．-