Question

若實數x，y滿足x²+y²-2x-2y+1=0，

x-2

y-4

的取值范圍為（　�。�

• A．(0，

  3

  4

  ]
• B．[

  4

  3

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  4

  3

  ]
• D．[-

  4

  3

  ，0)

Answer 1

分析：由題意，借助已知動點在圓上任意動，而所求式子形式可以聯(lián)想成在圓上動點P與定點A構成的斜率，進而求解．

解答：解：由題意，x²+y²-2x-2y+1=0即（x-1）²+（y-1）²=1表示圓心在（1，1）半徑為1的圓．
作出如下圖形：
令k=

y-4

x-2

，則k可看作圓上的動點P到定點A（2，4）的連線的斜率．設直線方程為：y-4=k（x-2），
化為直線一般式為：kx-y-2k+4=0，
利用直線與圓相切建立關于k的方程為：

|k-1-2k+4|

k2+1

=1⇒k=

4

3

而有題意及點P所在的位置圖可以知道斜率k臨界下時斜率為

4

3

，而由于點A的橫坐標與圓在x軸的交點橫坐標一樣，此時過點A與單位圓相切的直線的傾斜角為90°，所以斜率無最大值．
綜合可得，k≥

4

3

，
∴

x-2

y-4

的取值范圍為（0，

3

4

]．
故選A．

點評：此題重點考查了已知兩點坐標寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關系，還考查了利用幾何思想解決代數式子的等價轉化的思想．