Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x，（a＞0且a≠1），
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由．（不需要嚴格的定義證明，只要說出理由即可）
（3）若a=

1

2

，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請求出一個長度為1的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由．（注：區(qū)間（a，b）的長度=b-a）

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．證明方法是先求出函數(shù)f（x）=a^x-a^-x的定義域關(guān)于原點對稱，再推導(dǎo)出f（-x）=-f（x）．
（2）函數(shù)f（x）=a^x-a^-x=a^x-（

1

a

）^x，由a＞1和0＜a＜1兩種情況，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別討論f（x）的單調(diào)性．
（3）設(shè)g（x）=f（x）-（x+1）=（

1

2

）^x-2^x-（x+1），由g（-1）g（0）＜0，推導(dǎo)出方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-a^-x為奇函數(shù)．
證明：函數(shù)f（x）=a^x-a^-x的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）=a^x-a^-x=a^x-（

1

a

）^x，
①當a＞1時，y=a^x單調(diào)遞增，y=（

1

a

）^x單調(diào)遞減，
所以f（x）=a^x-a^-x單調(diào)遞增．
②當0＜a＜1時，y=a^x單調(diào)遞減，y=（

1

a

）^x單調(diào)遞增，
∴f（x）=a^x-a^-x單調(diào)遞減．
綜上所述，a＞1時，y=f（x）單調(diào)遞增；0＜a＜1時，y=f（x）單調(diào)遞減．
（3）當a=

1

2

時，f（x）=（

1

2

）^x-2^x，又f（x）=x+1，
設(shè)g（x）=f（x）-（x+1）=（

1

2

）^x-2^x-（x+1），
∵g（-1）=

3

2

＞0，g（0）=-1＜0，
∴g（-1）g（0）＜0，故y=g（x）存在零點x₀∈（-1，0），
∴方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查方程是否有根的判斷．解題時要注意指數(shù)冪數(shù)性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化思想、分灶討論思想的合理運用．