Question

給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.

(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ，；(Ⅱ)垂直.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，利用短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準(zhǔn)圓的半徑，直接寫出準(zhǔn)圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，②當(dāng)的斜率都存在時.

試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，

所以橢圓方程為.                   2分

易知準(zhǔn)圓半徑為，

則準(zhǔn)圓方程為.                      4分

(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，

不妨設(shè)的斜率不存在，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700195977393484/SYS201309170020514152739418_DA.files/image011.png">與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為，

當(dāng)的方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，，

此時經(jīng)過點(diǎn)或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是或，

即為或，顯然直線垂直；           6分

同理可證直線的方程為時，直線也垂直．      7分

②當(dāng)的斜率都存在時，設(shè)點(diǎn)，其中.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，

由消去，得.

由化簡整理得，.   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700195977393484/SYS201309170020514152739418_DA.files/image021.png">，

所以有.                 10分

設(shè)直線的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700195977393484/SYS201309170020514152739418_DA.files/image009.png">與橢圓只有一個公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

所以，即垂直．                  12分

綜合①②知，垂直．                        13分

考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.