Question

設復數(shù)z=

7+i

3+4i

-i•sinθ，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R，則|z|的取值范圍是（　�。�

• A、[1，

  3

  ]
• B、[

  2

  ，3]
• C、[

  2

  ，

  5

  ]
• D、[1，

  5

  ]

Answer 1

分析：首先整理復數(shù)的式子，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理成最簡形式，合并同類項寫出復數(shù)的模長表示式，根據(jù)正弦值的范圍和二次函數(shù)的最值求法，得到結果．

解答：解：復數(shù)z=

7+i

3+4i

-i•sinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=1-i-isinθ，
∴|z|=

1+(1+sinθ)2

∵θ∈R
∴sinθ∈[-1，1]
∴當sinθ=-1時，模長取到最小值1，
當sinθ=1時，模長取到最大值

5

，
故選D．

點評：本題考查復數(shù)求模長，考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，考查三角函數(shù)的性質，考查二次函數(shù)的最值求法，本題是一個比較簡單的綜合題目．