已知二次函數y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函數f(x)的表達式;
(2) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數解.
(1)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.
A( 由 (2) 【證法一】f(x)=fA,得x2+ 即 在同一坐標系內作出f2(x)= f3(x)= -x2+a2+ 因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點,
即f(x)=fA有一個負數解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a2+ 當a>3時,. f3(2)-f2(2)= a2+ ∴當a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f2(x)圖象的上方. ∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=fA有兩個正數解. 因此,方程f(x)=fA有三個實數解.
【證法二】由f(x)=fA,得x2+ 即(x-a)(x+a- 方程x+a- x2= ∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且x2≠ x3.
若x1=
x3,即a=
得a=0或a= 故原方程f(x)=fA有三個實數解.
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