Question

設(shè)橢圓的焦點在軸上.

（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；

（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點，直線交軸與點，并且，證明：當(dāng)變化時，點在某定直線上.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的焦距為，可得，又由，從而可以建立關(guān)于的方程，即可解得，因此橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，可設(shè)，條件中關(guān)于的約束只有及在橢圓上，因此需從即為出發(fā)點建立，滿足的關(guān)系式，由題意可得直線的斜率，直線的斜率，

故直線的方程為，當(dāng)時，即點的坐標(biāo)為,

故直線的斜率為，因此，化簡得，又由點在橢圓上，可得，即點在直線上.

試題解析：（1）∵焦距為1，∴，∴，

故橢圓的方程為；

（2）設(shè)，其中，由題設(shè)知，

則直線的斜率，直線的斜率，

故直線的方程為，當(dāng)時，即點的坐標(biāo)為,

∴直線的斜率為，

∵，∴，化簡得

將上式代入橢圓的方程，由于在第一象限，解得，即點在直線上.

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.兩直線的位置關(guān)系.