Question

已知一列非零向量，n∈N^*，滿足：=（10，-5），，（n³2 ）．，其中k是非零常數(shù)．
（1）求數(shù)列{||}是的通項(xiàng)公式；
（2）求向量與的夾角；（n≥2）；
（3）當(dāng)k=時(shí)，把，，…，，…中所有與共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，記為，，…，，…，令，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列{B_n}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo)．（注：若點(diǎn)坐標(biāo)為（t_n，s_n），且，，則稱點(diǎn)B（t，s）為點(diǎn)列的極限點(diǎn)．）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出=|k|，從而{||}是首項(xiàng)為5公比為|k|的等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得
數(shù)列{||}是的通項(xiàng)公式；
（2）由向量的數(shù)量積公式得：=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）=k（x_n-1²+y_n-1²）=．
從而求得cos＜＞下面分兩種情形：當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)k＜0時(shí)，求得向量與的夾角即可；
（3）當(dāng)k=時(shí)，由（2）知：4＜＞=p，由于每相隔3個(gè)向量的兩個(gè)向量必共線，且方向相反，得到與向量共線的向量，記的單位向量為，利用條件求得，最后利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合數(shù)列的極限即可求得點(diǎn)列{B_n}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）（2分）
=|k|=|k|||，（n≥2），
∴=|k|≠0，||=5．
∴{||}是首項(xiàng)為5公比為|k|的等比數(shù)列．
∴=5（|k|）^n-1（2分）
（2）=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）
=k（x_n-1²+y_n-1²）=．
∴cos＜＞==，（2分）
∴當(dāng)k＞0時(shí)，＜＞=，
當(dāng)k＜0時(shí)，＜＞=．（2分）
（3）當(dāng)k=時(shí)，由（2）知：4＜＞=p，
∴每相隔3個(gè)向量的兩個(gè)向量必共線，且方向相反，
∴與向量共線的向量為：{，}
={}，（2分）
記的單位向量為，則，
則=||=|a₁|（|k|）^n-1
==|a₁|（|k|）^4n-4（-1）^n-1
=（-4|k|⁴）^n-1=（10，-5）（-）^n-1（2分）
設(shè)，
則t_n=10[]=，
∴，．
∴點(diǎn)列{B_n}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，-4）．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、數(shù)列的極限等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．