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已知函數f（x）=sinxcosx-cos2x+sin2x-1．
（ I ）當x∈[0，]時，求函數f（x）的最小值和最大值；
（II）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）與向量=（2，sinB）共線，求a、b的值．
【答案】分析：（I）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到C的度數，根據平面向量平行時滿足的條件得到sinB=2sinA，根據正弦定理得到a與b的關系式，記作①，又根據余弦定理，由c和cosC的值，得到a與b的另一個關系式，記作②，聯立①②即可求出a與b的值．
解答：解：（I）f（x）=sinxcosx-cos2x+sin2x-1
=sin2x-cos2x-1
=sin（2x-）-1
∵x∈[0，]，∴-≤2x-≤，
∴-≤sin（2x-）≤1，
∴函數f（x）的最小值時-，最大值時0；
（II）由f（C）=0，得到sin（2C-）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=，
又∵向量=（1，sinA）與向量=（2，sinB）共線，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a2+b2-2abcosC=c2，即a2+b2-ab=3②，
聯立①②，解得a=1，b=2．
點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的值域及平面向量平行時滿足的條件，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=
π
3
時，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實數m的取值范圍；
（3）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當的說明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數．
（1）求b的值；
（2）設函數φ（x）=2ax-
1
x2
是區(qū)間（0，1]上的增函數，且對于（0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數M；
（2）如果對任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

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