Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）若，求在上的最小值；

（3）若，且有三個不同實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是奇函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

（1）由a＝0，可得f（x）為奇函數(shù)，運用定義即可得到結(jié)論；

（2）求得f（x）的解析式，討論a＜1時，當1≤a≤3時，當3＜a≤4時，當a＞4時，結(jié)合單調(diào)性，可得最小值；

（3）由題意可得f（x）不單調(diào)，求得f（x）的分段函數(shù)，討論當x≥a遞增，且a≥0，x＜a不單調(diào)，以及當x＜a遞增，且a＜0，x≥a不單調(diào)，可得的范圍，即可得到所求取值范圍．

解：（1）a＝0，可得f（x）＝x|x|+bx為奇函數(shù)，

由定義域為R，f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣bx＝﹣（x|x|+bx）＝﹣f（x），

則f（x）為奇函數(shù)；

（2）b＝0，可得f（x）＝x|x﹣a|

，

由于1≤x≤3，

當a＜1時，可得f（x）＝x2﹣ax在[1，3]遞增，

可得f（x）的最小值為f（1）＝1﹣a；

當a＞3時，f（x）＝ax﹣x2在[1，]遞增，（，3]遞減，

由f（1）﹣f（3）═a﹣1﹣（3a﹣9）＝8﹣2a，

可得a＞4時，f（1）＜f（3），即為f（1）取得最小值a﹣1；

當3＜a≤4時，f（1）≥f（3），可得f（3）取得最小值3a﹣9；

當1≤a≤3時，由f（x）≥0，可得x＝a時，取得最小值0，

綜上可得，a＜1時，f（x）的最小值為1﹣a；

當1≤a≤3時，f（x）的最小值為0；

當3＜a≤4時，f（x）的最小值為3a﹣9；

當a＞4時，f（x）的最小值為a﹣1；

（3）b＞0，且f（x）有三個不同實根，

則f（x）不單調(diào)，

且f（x），

當x≥a遞增，且a≥0，x＜a不單調(diào)，

可得a，成立，又a，即a＞b；

即ab，

即3ab＜a2+b2＜6ab，

則的取值范圍是（，）；

當x＜a遞增，且a＜0，x≥a不單調(diào)，

可得a即a＜﹣b，又a，即a≤b；

即有ab，不成立．

綜上可得的取值范圍是（，）．