已知數(shù)列{a
n}滿足:
a1=1, an+1= | an+n (n為奇數(shù) n∈N*) | an-2n (n為偶數(shù) n∈N*) |
| |
.
(1)求a
2,a
3;
(2)設(shè)b
n=a
2n-2,n∈N
*,求證:數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(3)已知
cn=log|bn|,求證:
++…+<1.
分析:(1)由數(shù)列{a
n}的遞推關(guān)系直接可求;(2)利用
a1=1,an+1= | an+n (n為奇數(shù) n∈N*) | an-2n (n為偶數(shù) n∈N*) |
| |
,可得
=,所以數(shù)列{b
n}是公比為
,首項為
-的等比數(shù)列,進一步可求其通項公式;
(3)易得c
n=n,再利用裂項求和法求和,進而證得結(jié)論.
解答:解:(1)由數(shù)列{a
n}的遞推關(guān)系易知:
a2=,a3=-.(2分)
(2)
bn+1=a2n+2-2=a2n+1+(2n+1)-2=
a2n+1+(2n-1)=(a2n-4n)+(2n-1)=
a2n-1=(a2n-2)=bn.(6分)
又
b1=a2-2=-,∴
bn≠0, ∴=,
即數(shù)列{b
n}是公比為
,首項為
-的等比數(shù)列,
bn=-()n-1=-()n.(7分)
(3)由(2)有
cn=log|bn|=log()n=n.(8分)
∵
=-.(10分)
∴
+++=1-+-++-=
1-<1.(14分)
點評:本題考查了數(shù)列的遞推公式的運用、利用定義法證明等比數(shù)列:要證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列?
=q≠0.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1且
an+1=, n∈N*.
(1)若數(shù)列{b
n}滿足:
bn=(n∈N*),試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n;
(3)數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n=
(n≥2,n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a
1•a
2•…a
n<2•n!
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*)
(1)若
a1=,求a
n;
(2)若a
1=a∈(k,k+1),(k∈N
*),求{a
n}的前3k項的和S
3k(用k,a表示)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•北京模擬)已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2,且a
1=1,那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
.
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