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8.已知函數f(x)的定義域是x≠0的一切實數,對于定義域內的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時,f(x)>0,且f(2)=1.
(1)求f(4);
(2)證明:f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(3)解不等式 f(2x2-1)<2.

分析 (1)把4分為2×2,令x1=x2=2,利用已知的等式化簡后,將f(2)=1代入計算即可求出值;
(2)設任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,表示出f(x1)-f(x2),判斷其差為負即可得證;
(3)根據題意得到f(1)=f(-1)=0,得到f(x)=f(-x),將2變?yōu)閒(4),根據減函數的性質化簡不等式,求出解集即可.

解答 (1)解:∵f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時,f(x)>0,且f(2)=1,
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2;
(2)證明:設任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
則有f(x1)-f(x2)=f(x1)-(f(x1)+f(x2x1))=-f(x2x1),
由題可知x2x1>1,即f(x2x1)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
則f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(3)解:由題可得f(1)=0,f(-1)=0,
∴f(x)=f(-x),
變形得:f(2x2-1)<2=f(4),且f(x)在(0,+∞)上是增函數,
∴0<|2x2-1|<4,
解得:-102<x<102,且x≠±22,
則不等式的解集為{x|-102<x<102,且x≠±22}.

點評 此題考查了函數與方程的綜合運用,函數增減性的判定與性質,利用了轉化的思想,弄清題中規(guī)定的運算法則是解本題的關鍵.

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