Question

一只球放在桌面上不動(dòng)，桌面上一個(gè)點(diǎn)A的正上方有一點(diǎn)光源O，OA與球相切．光源O不動(dòng)，讓點(diǎn)A在桌面上移動(dòng)，OA始終與球相切，OA形成一個(gè)軸截面頂角為30°的圓錐面的一部分，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡的離心率為

2-

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，可得等腰直角三角形AOA′，在此三角形中利用切線長(zhǎng)定理，可以求出焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)距離AF與AA′的關(guān)系式，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，化為關(guān)于橢圓的參數(shù)a、c的等量關(guān)系，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：如圖是過圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長(zhǎng)軸AA′的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)F，OA⊥AA′
設(shè)光線OA與球相切于點(diǎn)E，OA′與球相切于點(diǎn)D
令A(yù)A′=2a
∵直角三角形AOA′中，OA=

3

AA′=

3

2

OA′
∴OA=2

3

a，OA′=4a，
∴AF=AE=

1

2

（OA+AA′-OA′）=（

3

-1）a
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得AF是焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的距離AF=a-c
即a-c=（

3

-1）a
∴

c

a

=2-

3

所以所求橢圓的離心率為2-

3

故答案為：2-

3

點(diǎn)評(píng)：本題以空間的圓錐為載體，考查了圓錐曲線的形成過程，同時(shí)考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．