已知拋物線y2=2px(p＞0),若有過動(dòng)點(diǎn)M（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.

思路解析：設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則得Equation.3，（1）即求證|Equation.3|≤2p;(2)若AB的垂直平分線交AB于Q，則可得Equation.3、Equation.3結(jié)合三角形面積公式易求.

解：（1）設(shè)A（,y1）,B(,y2),則Equation.3=(,y2-y1),Equation.3=(-a,y1),

Equation.3=(-a,y2).  ∵Equation.3與Equation.3共線，∴（-a）y2-(-a)y1=0y1y2=-2pa.

又直線l的斜率為1，∴y2-y1=y1+y2=2p.

∴|Equation.3|=|y2-y1|==.

由0＜|AB|≤2p可得-＜a≤-.

(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q（x,y），則

x==a+p,y==p,∴Equation.3=(p,p),|Equation.3|=p(定值).

∵|Equation.3|=|Equation.3|，∴S△NAB=|Equation.3|·|Equation.3|=p·|Equation.3|≤p2.

∴△NAB的最大面積為p2.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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