Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)()，.

（Ⅰ）當時，解關(guān)于的不等式：；

（Ⅱ）當時，記，過點是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，對任意，

試比較與的大小(常數(shù)).

 

Answer 1

【答案】

(I) . (Ⅱ)這樣的切線存在，且只有一條。

(Ⅲ)以，

 =.

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，以及不等式的求解，以及最值的研究。

（1）因為當時，不等式等價于，進而得到解集

（2）假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個切點，

∴切線方程：將點T代入得到結(jié)論。

（3）對恒成立，所以，構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)求解最值得到證明。

(I)當時，不等式等價于，解集為.      3分

(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個切點，

∴切線方程：，將點坐標代入得：

，即，        ①

法1：設(shè)，則．………………6分

，在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

故．

又，注意到在其定義域上的單調(diào)性知僅在內(nèi)有且僅有一根方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條． 8分.

法2：令()，考查，則，

從而在增，減，增. 故，

，而，故在上有唯一解.

從而有唯一解，即切線唯一.

法3：，；

當；

所以在單調(diào)遞增。 又因為，所以方程

有必有一解，所以這樣的切線存在，且只有一條。

(Ⅲ)對恒成立，所以，

令，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故，.                       10分

得，.  令，，

注意到，即，

所以，

 =.              14分