Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且＝λ(λ＞0)，定點A(－4，0)．

(1)求證：當λ＝1時，⊥；

(2)若當λ＝1時，有·＝，求橢圓C的方程．.

 

Answer 1

（1）見解析（2）＝1

【解析】(1)證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(xiàn)(c，0)，則＝(c－x1，－y1)，＝(x2－c，y2)．當λ＝1時，＝，∴－y1＝y(tǒng)2，x1＋x2＝2c.∵M、N兩點在橢圓C上，∴＝a2，＝a2，∴＝.若x1＝－x2，則x1＋x2＝0≠2c(舍去)，∴x1＝x2，∴＝(0，2y2)，＝(c＋4，0)，∴·＝0，∴⊥.

(2)【解析】
當λ＝1時，由(1)知x1＝x2＝c，

∴M，N，∴＝，＝，

∴·＝(c＋4)2－＝.(*)

∵＝，∴a2＝c2，b2＝，代入(*)式得c2＋8c＋16＝，∴c＝2或c＝－(舍去)．∴a2＝6，b2＝2，∴橢圓C的方程為＝1