若x∈[-
5π
12
，-
π
3
]，則y=tan(x+
2π
3
)-tan(x+
π
6
)的最大值為
4
3
3
4
3
3
．
分析：將所求式子第二項根據(jù)cot（x+
2π
3
）=cot[
π
2
+（x+
π
6
）]=tan（x+
π
6
）變形，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系將兩項切化弦，通分并利用同分母分數(shù)的加法法則計算，分子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，分母利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，分母化為一個角的正弦函數(shù)，分子化為常數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的增減性得出正弦函數(shù)的最小值，即可得到y(tǒng)的最大值．
解答：解：y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）
=tan（x+
2π
3
）-cot（x+
2π
3
）
=
sin2(x+
2π
3
)+cos2(x+
2π
3
)
sin(x+
2π
3
)cos(x+
2π
3
)

=
2
sin(2x+
4π
3
)
，
∵x∈[-
5π
12
，-
π
3
]，∴2x+
4π
3
∈[
π
2
，
2π
3
]，
此時正弦函數(shù)為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-
π
3
，即2x+
4π
3
=
2π
3
時，sin（2x+
4π
3
）最小值為
3
2
，
則y的最大值為
2
3
2
=
4
3
3
．
故答案為：
4
3
3
點評：此題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，將所求式子進行適當(dāng)?shù)淖冃问潜绢}的突破點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的周期和遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x∈(-
5π
12
， -
π
3
)，則y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）+cos（x+
π
6
）最大值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若x∈(-
5π
12
， -
π
3
)，則y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）+cos（x+
π
6
）最大值是（　�。�
A．
12
2
5
B．
11
2
6
C．
11
3
6
D．
12
3
5

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