Question

17．某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率P與日產(chǎn)量x（萬件）之間大體滿足關系：$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{6-x}（1≤x＜6）\\ \frac{2}{3}\;（x≥6）\end{array}\right.$．（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）．已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．
（1）試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當日產(chǎn)量x為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析 （1）每天的贏利為T=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-P）×2-日產(chǎn)量（x）×次品率（P）×1，根據(jù)分段函數(shù)分段研究，整理即可；
（2）利用基本不等式求函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）當x≥6時，P=$\frac{2}{3}$，則T=$\frac{1}{3}$x×2-$\frac{2}{3}$x×1=0．
當1≤x＜6時，P=$\frac{1}{6-x}$，則T=（1-$\frac{1}{6-x}$）x×2-（$\frac{1}{6-x}$）x×1=$\frac{9x-2{x}^{2}}{6-x}$．
綜上所述，日盈利額T（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關系為：T=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9x-2{x}^{2}}{6-x}，1≤x≤6}\\{0，x≥6}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）由（1）知，當x≥6時，每天的盈利為0．
當1≤x＜6時，T（x）=$\frac{9x-2{x}^{2}}{6-x}$=15-2[（6-x）+$\frac{9}{6-x}$]≤15-12=3，
∴T≤3．
當且僅當x=3時，T=3．
綜上，當日產(chǎn)量為3萬件時，可獲得最大利潤3萬元．…（12分）

點評 本題考查了利潤函數(shù)模型的應用，并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問題，也考查了分段函數(shù)的問題，分類討論思想．是中檔題．