Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=

1

2

AD，E是線段AB的中點．
（Ⅰ）求證：PE⊥CD；
（Ⅱ）求PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和正三角形性質(zhì)，得AD⊥EP且AB⊥EP，從而得到 PE⊥平面ABCD．再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得PE⊥CD；
（II）以E為原點，EA、EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．可得E、C、D、P各點的坐標，從而得到向量

ED

、

EP

、

PC

的坐標，利用垂直向量數(shù)量積等于0的方法，可得平面PDE一個法向量

n

=（1，-2，0），最后根據(jù)直線與平面所成角的公式，可得PC與平面PDE所成角的正弦值為

3

5

．

解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，∴AD⊥EP．
又∵△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，∴AB⊥EP．
∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．
∵CD?平面ABCD，∴PE⊥CD．…（5分）
（Ⅱ）以E為原點，EA、EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．

ED

=（2，1，0），

EP

=（0，0，

3

），

PC

=（1，-1，-

3

）．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PDE的一個法向量．
由 

n • ED =2x+y=0 n • EP = 3 z=0

，令x=1，可得

n

=（1，-2，0）．…（9分）
設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ，得
sinθ=|cos＜

PC

•

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

3

5

所以PC與平面PDE所成角的正弦值為

3

5

． …（12分）

點評：本題在四棱錐中，求證異面直線相垂直并且求直線與平面所成的角，著重考查了空間直線與直線之間的位置關(guān)系判斷和用空間向量求直線與平面的夾角等知識，屬于中檔題．