形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩陣,定義矩陣的一種運(yùn)算
ab
cd
x
y
=
ax+bx
cx+dy
.該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)(x,y)在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點(diǎn)(ax+by,cx+dy).
(1)設(shè)點(diǎn)M(-2,1)在
01
10
的作用下變換成點(diǎn)M′,求點(diǎn)M′的坐標(biāo);
(2)設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn ,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)A(Sn,n)在
01
10
的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,求an的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)bn為數(shù)列{1-
1
an
}的前n項(xiàng)的積,是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式bn
an+1
<a
對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法的乘法規(guī)則,將問題轉(zhuǎn)化為矩陣的計(jì)算;
(2)由題意Sn=n2+n,從而可求an的表達(dá)式;
(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解決恒成立問題.
解答:解:(1)∵
01
10
-2
1
=
1
-2
∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(1,-2);
(2)∵
01
10
Sn
n
=
n
Sn
,∴A′(n,Sn
∵點(diǎn)A′(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,∴Sn=n2+n
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n
a1=2滿足上式,∴an=2nn∈N*
(3)bn=(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)(1-
1
an
)
,設(shè)Fn=(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)(1-
1
an
)
2n+1

F(n+1)
F(N)
=
2n+1
2n+3
2n+2
<1

∴F(n)>F(n+1),F(xiàn)(n)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)n=1時(shí),F(xiàn)(n)取最大值
3
2

要使不等式bn
an+1
<a
對(duì)一切n∈N*都成立,只需a
3
2

所以a的取值范圍為(
3
2
,+∞)
點(diǎn)評(píng):在二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下,它將平面上任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x,y)對(duì)應(yīng)惟一的一個(gè)平面點(diǎn)(向量)(x′,y′).?dāng)?shù)列中的恒成立問題,通常可借助于構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解決.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)將形如
.
а11а12
а21а22
.
的符號(hào)稱二階行列式,現(xiàn)規(guī)定
.
а11а12
а21а22
.
=a11a22-a12a21
試計(jì)算二階行列式
.
cos
π
4
      1
1cos
π
3
.
的值;
(2)已知tan(
π
4
+a)=-
1
2
,求
sin2a-2cos2a
1+tana

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)將形如
.
а11а12
а21а22
.
的符號(hào)稱二階行列式,現(xiàn)規(guī)定
.
а11а12
а21а22
.
=a11a22-a12a21
試計(jì)算二階行列式
.
cos
π
4
      1
1cos
π
3
.
的值;
(2)已知tan(
π
4
+a)=-
1
2
,求
sin2a-2cos2a
1+tana

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩陣,定義矩陣的一種運(yùn)算
ab
cd
x
y
=
ax+bx
cx+dy
.該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)(x,y)在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點(diǎn)(ax+by,cx+dy).
(1)設(shè)點(diǎn)M(-2,1)在
01
10
的作用下變換成點(diǎn)M′,求點(diǎn)M′的坐標(biāo);
(2)設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn ,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)A(Sn,n)在
01
10
的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,求an的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)bn為數(shù)列{1-
1
an
}的前n項(xiàng)的積,是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式bn
an+1
<a
對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年廣東省東莞市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

形如的式子叫做二行二列矩陣,定義矩陣的一種運(yùn)算 =.該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)(x,y)在矩陣的作用下變換成點(diǎn)(ax+by,cx+dy).
(1)設(shè)點(diǎn)M(-2,1)在的作用下變換成點(diǎn)M′,求點(diǎn)M′的坐標(biāo);
(2)設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn ,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)A(Sn,n)在的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,求an的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)bn為數(shù)列{1-}的前n項(xiàng)的積,是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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